誕生日のパラドクス

誕生日のパラドクスとは

誕生日のパラドクス（Birthday paradox）とは、意外と少ない人数で、少なくとも2人の同じ誕生日が一致する確率が高いとする現象のこと。

23人の学校のクラスがあれば、約50%の確率で同じ誕生日の人がクラスメイトにいることになります。

そんなに高い確率で同じ誕生日の人がクラスに存在するものでしょうか？

もっとたくさん人数がいるグループならば、50%ぐらいにはなりそうですが、たった23人のクラスでその確率になるというのはとても意外な感じがします。

これが「パラドクス（逆説）」と呼ばれるのは、私たちが想像するよりもずっと少ない人数でこのような一致が発生する可能性が高いためです。

　

　

　

逆に全員の誕生日が被らない確率を算出する

誕生日のパラドクスを理解するためには、まず「少なくとも2人が同じ誕生日である確率」をどうやって計算するかを知る必要があります。

実は、この確率を直接計算するよりも、「全員が異なる誕生日である確率」を計算して、それを1から引く方がずっと簡単です。

例えば、1年は365日あるので、最初の人がどの日に生まれたとしても構いません。

2人目が最初の人と異なる誕生日である確率は364/365です。

3人目が前の2人と異なる誕生日である確率は363/365…という具合に、人数が増えるごとに、全員が異なる誕生日である確率はどんどん小さくなっていきます。

　

　

23人の不思議

では、なぜ23人のグループでこの現象が顕著になるのでしょうか？実際に計算してみると、23人が全員異なる誕生日である確率は約49%です。

つまり、少なくとも2人が同じ誕生日である確率は約51%となり、ほぼコイン投げと同じ確率で発生するんですね。

この直感に反する理由は、私たちが「特定の2人が同じ誕生日である確率」ではなく、「グループ内のどの2人かが同じ誕生日である確率」を考えていないからです。

グループの人数が増えれば増えるほど、この「マッチング」の機会が指数関数的に増加するため、意外と早く確率が高まるのです。

5人グループ	２.7％
10人グループ	11.7%
15人グループ	25.3%
20人グループ	41.1%
22人グループ	47.6%
23人グループ	50.7%
30人グループ	70.6%
40人グループ	89.1%
50人グループ	97.0%
70人グループ	99.9%

　

　

日常での応用

このパラドクスは、直感と実際の確率がいかに異なるかを示す興味深い例です。

また、データサイエンスやセキュリティ分析など、様々な分野での確率論の理解を深めるのにも役立ちます。

例えば、ランダムなイベントが予想以上に早く重複する可能性があることを考慮に入れる必要がある場合などです。

誕生日のパラドクスは、数学の不思議な世界を垣間見ることができる素晴らしい例です。この記事が、確率論の直感的な理解を深める一助となれば幸いです